Th©or¨me Darrªt De Doob Temps Continu

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Le théorème d'arrêt de Doob est un résultat important en théorie des probabilités : il permet, par exemple, d'obtenir des renseignements, parfois explicites, sur la loi des temps d'atteinte. Le théorème d'arrêt de Doob est dû à Joseph Leo Doob.

Énoncé [modifier | modifier le code]

On considère un processus stochastique ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} }}$ .

Théorème  — (a) Supposons que X est une surmartingale, et que T est un temps d'arrêt. Alors, dès que l'un des 3 ensembles d'hypothèses ci-dessous est satisfait :

(i) T est borné (i.e. il existe un entier N tel que, pour presque tout tout ω, ${\displaystyle T(\omega )\leq N}$ ) ;

(ii) X est borné (i.e. il existe un réel K tel que, pour tout n et presque tout ω, ${\displaystyle |X_{n}(\omega )|\leq K}$ ) et, de plus, T est presque sûrement fini;

(iii) T est intégrable, et il existe un réel K tel que pour tout n et presque tout ω,

${\displaystyle \qquad |X_{n}(\omega )-X_{n-1}(\omega )|\leq K;}$

il suit que X_T est intégrable, et que

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}]\leq \mathbb {E} [X_{0}].}$

(b) Si n'importe lequel parmi les 3 ensembles de conditions (i) ... (iii) est satisfait et si X est une martingale, alors

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{T}]=\mathbb {E} [X_{0}].}$

Bibliographie [modifier | modifier le code]

• (en) David Williams, Probability with martingales, Cambridge, Cambridge University Press, 1991, 1^re éd., 266p. (ISBN0-521-40455-X), p. 100 .

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Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27arr%C3%AAt_de_Doob

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